住民税は自動計算されますか？

されません。

住民税額は 1〜12月の所得金額を元に市区町村が算出し、翌年6月〜翌々年5月にかけて徴収されるようになっています。
そのため、自動計算されるものではなく、通知された住民税額を入力します。